Question

(2007山东，22)设函数，其中b≠0．

(1)当时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

(2)求函数f(x)的极值点；

(3)证明对任意的正整数n，不等式都成立．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由题意知，f(x)的定义域为(―1，＋∞)，， 设，其图象的对称轴为， ∴．当时，． 即在(―1，＋∞)上恒成立． ∴当x(―1，＋∞)时，． ∴当时，函数f(x)在定义域(―1，＋∞)上单调递增． (2)①由(1)得：当时，函数f(x)无极值点． ②时，有两个相同的解， ∵时，，时，， ∴时，函数f(x)在(―1，＋∞)上无极值点． ③当时，有两个不同解，，． ∵b＜0时，，， 即，， ∴b＜0时，、f(x)随x的变化情况如下表： 由此表可知b＜0时， f(x)有唯一极小值点；当时，，∴， 此时，、f(x)随x的变化情况如下表： 由此表可知：时，f(x)有一个极大值点和一个极小值点； 综上所述，b＜0时，f(x)有唯一极小值点； 时，f(x)有一个极大值点和一个极小值点；时，f(x)无极值点． (3)当b=－1时，函数，令函数，则．∴当x[0，＋∞)时，，所以函数h(x)在[0，＋∞)上单调递增，又h(0)=0，∴x[0，＋∞)时，恒有h(x)＞h(0)=0，即恒成立，故当x[0，＋∞)时，有．对任意正整数n，取，则有，所以结论成立．