Question

12．已知平面向量$\vec a，\vec b，\vec c$满足$|\vec a|=1，\vec a•\vec b=\vec b•\vec c=1，\vec a•\vec c=2$，则$|\vec a+\vec b+\vec c|$的最小值是4．

Answer 1

分析 不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（m，n），$\overrightarrow{c}$=（p，q），根据向量的数量积的运算得到n=-$\frac{1}{q}$，再根据向量的模的和基本不等式即可求出答案．

解答 解：不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（m，n），$\overrightarrow{c}$=（p，q）则m=1，p=2，$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=2+nq=1，则nq=-1，
∴n=-$\frac{1}{q}$，
∴$\overrightarrow{b}$=（1，-$\frac{1}{q}$），$\overrightarrow{c}$=（2，q），
∴$|\vec a+\vec b+\vec c|$²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=1+1+$\frac{1}{{q}^{2}}$+4+q²+2+2+4=14+$\frac{1}{{q}^{2}}$+q²≥14+2=16，
∴$|\vec a+\vec b+\vec c|$≥4，当且仅当q²=1，即q=±1时“=”成立．
故答案为：4

点评 本题考查了向量数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．