Question

10．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，侧面ABB₁A₁是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA₁、A₁B₁上，且AE=$\frac{1}{2}$，A₁F=$\frac{3}{4}$，CE⊥EF．
（Ⅰ）证明：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC₁与平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．计算DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，由三线合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB₁A₁，从而平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{A{C}_{1}}$和平面CEF的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线AC₁与平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{A{C}_{1}}$＞|．

解答 证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．
∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．
∵侧面ABB₁A₁是边长为2的正方形，AE=$\frac{1}{2}$，A₁F=$\frac{3}{4}$．
∴A₁E=$\frac{3}{2}$，EF=$\sqrt{（\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，DE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
DF=$\sqrt{{2}^{2}+（1-\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{4}$，
∴EF²+DE²=DF²，∴DE⊥EF，
又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE?平面CDE，DE?平面CDE，
∴EF⊥平面CDE，又CD?平面CDE，
∴CD⊥EF，
又CD⊥AB，AB?平面ABB₁A₁，EF?平面ABB₁A₁，AB，EF为相交直线，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，又CD?ABC，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC．
（II）∵平面ABB₁A₁⊥平面ABC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴CC₁⊥平面ABC．
∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=$\sqrt{2}$．
以C为原点，以CA，CB，CC₁为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（$\sqrt{2}$，0，0），C（0，0，0），C₁（0，0，2），E（$\sqrt{2}$，0，$\frac{1}{2}$），F（$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，2）．
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$，0，2），$\overrightarrow{CE}$=（$\sqrt{2}$，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，2）．
设平面CEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+\frac{1}{2}z=0}\\{\frac{5\sqrt{2}}{8}x+\frac{3\sqrt{2}}{8}y+2z=0}\end{array}\right.$，令z=4，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}$，-9$\sqrt{2}$，4）．
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}$=10，|$\overrightarrow{n}$|=6$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|=$\sqrt{6}$．
∴sin＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{A{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{A{C}_{1}}|}$=$\frac{\sqrt{30}}{18}$．
∴直线AC₁与平面CEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{18}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．