Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB∥CD，PA=AB=AD=2，DC=1，AD⊥AB，PD=PB=2$\sqrt{2}$，点M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：CM∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线CM与平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PA的中点N，连接MN，推导出四边形MNCD是平行四边形，从而CM∥DN，由此能证明CM∥平面PAD．
（Ⅱ）建立空间坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线CM与平面PDC所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取PA的中点N，连接MN，有MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AB$，
∴MN$\underset{∥}{=}$DC，
∴四边形MNCD是平行四边形，
∴CM∥DN，
又DN?平面PAD，CM?平面PAD《
故CM∥平面PAD．…（6分）
解：（Ⅱ）依题意知：PA²+AB²=PD²，∴PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，
建立如图所示空间坐标系O-xyz，
则C（2，1，0），M（0，1，1），D（2，0，0），P（0，0，2），
∴$\overrightarrow{CM}=（{-2\;\;，\;\;0\;\;，\;\;1}）$，$\overrightarrow{DC}=（{0\;\;，\;\;1\;\;，\;\;0}）$，$\overrightarrow{DP}=（{-2\;\;，\;\;0\;\;，\;\;2}）$，
设平面PDC的法向量为$\overrightarrow n=（{a\;\;，\;\;b\;\;，\;\;c}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DP}=0\end{array}\right.$，有$\left\{\begin{array}{l}b=0\\-2a+2c=0\end{array}\right.$，得$\overrightarrow n=（{1\;\;，\;\;0\;\;，\;\;1}）$，
所以$cos＜\overrightarrow n\;\;，\;\;\overrightarrow{CM}≥\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{CM}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{CM}}|}}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
故直线CM与平面PDC所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．