题目内容

下列不等式
①已知 $数学公式$ ；
②a²+b²+3＞2a+2b；
③已知 $数学公式$ ；
④ $数学公式$ ．
其中恒成立的是________．（把所有成立不等式的序号都填上）

①②④
分析：逐个判断：选项①由基本不等式可证；选项②可通过作差然后配方来证明；选项③可举反例说明不对；选项④可通过平方作差法证明．
解答：选项①∵a＞0，b＞0，∴ $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =4，
当且仅当a=b时取等号，故 $\text{[math]}$ 成立；
选项②，∵a²+b²+3-（2a+2b）=a²-2a+1+b²-2b+1+1=（a-1）²+（b-1）²+1≥1
∴a²+b²+3＞2a+2b恒成立；
选项③，∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴当a=b时，式子为0，
故 $\text{[math]}$ 不一定成立；
选项④，∵a＞1，∴（ $\text{[math]}$ ）²-（ $\text{[math]}$ ）²=a-1+a+1+ $\text{[math]}$ -4a=2（ $\text{[math]}$ ）
而 $\text{[math]}$ ，因为a²-1-a²=-1＜0，故 $\text{[math]}$ 成立．
故答案为：①②④
点评：本题为不等式的证明，涉及基本不等式和作差法比较大小，属基础题．

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已知函数f(x)=

．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈(-

，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(

)处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(-

，+∞)，且a+b+c=1，证明：

”；
（4）已知a₁，a₂，…，a_n是正数，且a₁+a₂+…+a_n=1，借助（3）的证明猜想

的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）

（1）证明下列命题：
已知函数f（x）=kx+p及实数m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，则对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）利用（1）的结论解决下列各问题：
①若对于-6≤x≤4，不等式2x+20＞k²x+16k恒成立，求实数k的取值范围．
②a，b，c∈R，且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：ab+bc+ca＞-1．

已知函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a＞0)，α、β为方程f(x)＝x的两根，且0＜α＜β＜，0＜x＜a，给出下列不等式：

①x＜f(x)　②a＜f(x)　③x＞f(x)　④a＞f(x)

其中成立的是

[　　]

下列说法：

①已知则方向上的投影为；

②关于的不等式恒成立，则的取值范围是；

③函数为奇函数的充要条件是；

④将函数图像向右平移个单位，得到函数的图像

其中正确的命题序号是（填出所有正确命题的序号）。

．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当

时，证明函数y=f（x）图象在点

处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知

，且a+b+c=1，证明：

”；
（4）已知a₁，a₂，…，a_n是正数，且a₁+a₂+…+a_n=1，借助（3）的证明猜想

的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）