Question

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．
（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；
（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题意，由A、O、B三点的坐标，可得△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标；分与两种情况讨论，易得证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中（c≠0，b≠），得，进而化简可得；结合椭圆的方程，可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），
可求得重心，
外心，
垂心．
当时，G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；
当时，设G，H所在直线的斜率为k_GH，F，G所在直线的斜率为k_FG．
因为，
，
所以k_GH=k_FG，G，F，H，三点共线．
综上可得，G，F，H三点共线．
（Ⅱ）解：若FH∥OB，由，
得
配方得，即．
即．
所以，顶点C的轨迹是中心在，长半轴长为，短半轴长为，且短轴在x轴上的椭圆，
但除去（0，0），（1，0），，四点．
点评：本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力；解题时，首先注意轨迹的求法及轨迹与轨迹方程的区别，其次要结合重心、垂心、外心的性质来解题．