Question

16．设a，b∈R⁺，且a+b=2则ab²的最大值为$\frac{4\sqrt{6}}{9}$．

Answer 1

分析 化简得a=2-b，0＜b＜2；从而可得f（b）=ab²=（2-b）b²=-b³+2b，f′（b）=-3b²+2=-3（b+$\frac{\sqrt{6}}{3}$）（b-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），从而求得．

解答 解：∵a，b∈R₊且a+b=2，
∴a=2-b，0＜b＜2；
f（b）=ab²=（2-b）b²=-b³+2b，
f′（b）=-3b²+2=-3（b+$\frac{\sqrt{6}}{3}$）（b-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
故f（b）在（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）上是增函数，
在（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，2）上是减函数；
故ab²的最大值是f（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）=$\frac{4\sqrt{6}}{9}$
故答案为：$\frac{4\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及单调性的判断与应用．