Question

19．已知等差数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=2，前4项之和S₄=5a₂+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若点A₁（a₁，b₁），A₂（a₂，b₂），…A_n（a_n，b_n）（n∈N^*）从左至右依次都在函数y=2${\;}^{\frac{x-2}{4}}$+$\frac{16}{（x+2）（x+6）}$的图象上，求这n个点A₁，A₂，A₃，…，A_n的纵坐标之和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用调查核实了的通项公式和求和公式，解方程可得d=4，进而得到所求通项公式；
（2）运用数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意可得4a₁+$\frac{4×3}{2}$d=5（a₁+d）+2，
a₁=2，解得d=4，
即有a_n=a₁+（n-1）d=4n-2；
（2）由题意可得b₁=2⁰+$\frac{16}{4×8}$=1$\frac{1}{2}$；
a₂=6，b₂=2+$\frac{16}{8×12}$=2$\frac{1}{6}$；
…，
a_n=4n-2，b_n=2^n-1+$\frac{16}{4n•（4n+4）}$
=2^n-1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
即有纵坐标之和T_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=2ⁿ-$\frac{1}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．