Question

4．某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查．调查结果如表：

阅读名著的本数	1	2	3	4	5
男生人数	3	1	2	1	3
女生人数	1	3	3	1	2

（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；
（Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；
（Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差${s_1}^2$与女生阅读名著本数的方差${s_2}^2$的大小
（只需写出结论）．（注：方差${s^2}=\frac{1}{n}[{（{x_1}-\bar x）^2}+{（{x_2}-\bar x）^2}+…+{（{x_n}-\bar x）^2}]$，其中$\overline x$为x₁x₂，…x_n的平均数）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数表中的数据，求出女生阅读名著的平均本数即可；
（Ⅱ）利用列举法计算基本事件数，即可求出对应的概率值；
（ III）利用公式分别求出男生、女生阅读名著本数的平均数与方差即可．

解答 解：（Ⅰ）女生阅读名著的平均本数为
$\overline x=\frac{1×1+3×2+3×3+1×4+2×5}{10}=3$本；…（3分）
（Ⅱ）设事件A={从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}，
男生阅读5本名著的3人分别记为a₁，a₂，a₃，女生阅读5本名著的2人分别记为b₁，b₂；
从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是：
{a₁，a₂}，{a₁，a₃}，{a₂，a₃}，{b₁，b₂}，{a₁，b₁}，{a₁，b₂}，
{a₂，b₁}，{a₂，b₂}，{a₃，b₁}，{a₃，b₂}；
其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：
{a₁，b₁}，{a₁，b₂}，{a₂，b₁}，{a₂，b₂}，{a₃，b₁}，{a₃，b₂}；
则$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；…（10分）
（ III）男生阅读名著本数的平均数是$\overline{{x}_{1}}$=$\frac{1}{10}$×（1×3+2×1+3×2+4×1+5×3）=3，
方差是${s_1}^2$=$\frac{1}{10}$×[3×（-2）²+（-1）²+2×0²+1²+3×2²]=2.6；
女生阅读名著本数的平均数是$\overline{{x}_{2}}$=3，
方差${s_2}^2$=$\frac{1}{10}$×[（-2）²+3×（-1）²+3×0²+1²+2×2²]=1.6；
所以${s_1}^2＞{s_2}^2$．…（13分）

点评 本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．