Question

（本小题满分12分）已知二次函数.

（1）若，且对任意实数均有，求的表达式；

（2）在（1）的条件下，当时，设，求g（x）最小值.

Answer 1

（1）,

（2）若时，当时，取得最小值；

若时，当时，取得最小值；

若时，当时，取得最小值；

【解析】

试题分析：第一问：二次函数的图像是开口向上的抛物线，要求对任意实数均有，只需要求抛物线与轴无交点或一个交点，即.第二问是求含参二次函数的最大值与最小值问题，由于二次项系数为1，开口向上，对称轴的位置与有关，所以针对对称轴的三种不同位置加以分类研究，求出相应的最小值。

试题解析：（1）[法一]依题意有得：.......?，

又因为对任意实数都成立，说明二次函数的图象抛物线的开口向上，与轴相离或相切，即........?，把?代入?得：，即：，所以只能；这时.则

[法二]依题意有得：.......?，

又的最小值为，又因为对任意实数都有成立，则，，即.........?,

将?代入?得：，则

因为，所以=

抛物线开口向上，对称轴方程为

?若，即时，在上是增函数，当时，取得最小值

?若，即时，在上是减函数，在上是增函数，

当时，取得最小值；

?若，即时，在上是减函数,当时，取得最小值；

考点：1.一元二次不等式恒成立；2.二次函数的最大值与最小值；3.分类讨论思想解题