Question

3．四面体有一条棱长为x，其余棱长为4．当四面体体积最大时，其外接球的表面积为$\frac{80}{3}$π．

Answer 1

分析 判断几何体体积最大时的结构特征，然后利用四面体的结构特征，求解球的半径．

解答 解：△ABC和△BCD都是边长为4的正三角形三棱锥的体积的最大值，是A到底面的距离最大时取得，就是侧面ABC与底面BCD垂直时取得最大值，
此时△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为4，底边长为x，
∵设E，P为BC，AD的中点，
∴可以判断三角形AED为等腰直角三角形，
∴AE=$2\sqrt{3}$，BE=2，
AD=$\sqrt{2}AE$=2$\sqrt{6}$，PE=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{6}$，
∵根据几何体的结构特征得出外接球的球心O在EP上，
∴设OE=h，
OP=$\sqrt{6}$-h，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{R}^{2}={2}^{2}+{h}^{2}}\\{{R}^{2}=（\sqrt{6}-h）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}\end{array}\right.$，
即h=$\frac{4}{\sqrt{6}}$，R²=$\frac{20}{3}$，
其外接球的表面积为：4πR²=$\frac{80π}{3}$，
故答案为：$\frac{80π}{3}$．

点评 本题考查了空间几何体体积和表面积，考查了学生的空间想象能力和数学转化能力，此题是中档题