Question

10．已知正三棱锥P-ABC的外接球的球心O满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，则二面角A-PB-C的正弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{8}$
• C． $\frac{2\sqrt{6}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 推导出O是△ABC的外心．设△ABC的边长为a，则此三棱锥的高PO=OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，侧棱长PA=PB=PC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，侧面的斜高PD=$\sqrt{\frac{5}{12}}a$，取AC中点F，连结BF，PF，作CE⊥PB，交PB于E，连结AE，则∠AEC是二面角A-PB-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的正弦值．

解答 解：∵正三棱锥P-ABC的外接球的球心O满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴O是△ABC的外心．
设△ABC的边长为a，则此三棱锥的高PO=OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴侧棱长PA=PB=PC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
侧面的斜高PD=$\sqrt{P{B}^{2}-（\frac{BC}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{12}}a$，
取AC中点F，连结BF，PF，则BF⊥AC，PF⊥AC，
∵BF∩AF=F，∴AC⊥平面PBF，∵PB?平面PBF，∴AC⊥PB，
作CE⊥PB，交PB于E，连结AE，∵AC∩CE=C，∴PB⊥平面ACE，
∵AE?平面ACE，∴PB⊥AE，
∴∠AEC是二面角A-PB-C的平面角，
在△PBC中，由PB•CE=PD•BC，得CE=$\sqrt{\frac{5}{8}}$a，
∴cos∠AEC=$\frac{A{E}^{2}+C{E}^{2}-A{C}^{2}}{2•AE•CE}$=$\frac{1}{5}$，∴sin$∠AEC=\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴二面角A-PB-C的正弦值为：$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意合理地转化空间问题为平面问题，注意空间思维能力的培养．