Question

7．在圆内接四边形ABCD中，AD为圆的直径，对角线AC与BD交于点Q，AB，DC的延长线交于点P，连接PQ并延长交AD于点E，连接EB．
（1）求证：PE⊥AD；
（2）求证：BD平分∠EBC．

Answer 1

分析 （1）运用直径所对的圆周角为直角，以及三角形的垂心的定义和性质，即可得证；
（2）证得点P，B，E，D共圆，可得∠AEB=∠BPC，同理可得∠PCB=∠DAB，则△AEB∽△CPB，再由相似三角形的性质和内角平分线的定义，即可得证．

解答 证明：（1）由题意可得AD为圆的直径，
可得∠ABD=∠ACD=90°，
即有点Q为△APD的垂心，
则PE为边AD上的高，
可得PE⊥AD；
（2）由（1）可知，∠PBD=∠PED=90°，
则点P，B，E，D共圆，可得∠AEB=∠BPC，
又∠PCB=∠DAB，则△AEB∽△CPB，
可得∠EBA=∠CBP，
即为90°-∠EBD=90°-∠CBD，
即有∠EBD=∠CBD，
则BD平分∠EBC．

点评 本题考查圆的内接四边形的性质，直径所对的圆周角为直角和三角形相似的判定定理和性质定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．