Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一系列对应值如表：

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$	$\frac{7π}{3}$	$\frac{17π}{6}$
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式；
（2）对于区间[a，b]，规定|b-a|为区间长度，根据（1）的结果，若函数y=f（kx）-f（kx+$\frac{π}{2}$）（k＞0）在任意区间长度为$\frac{1}{10}$的区间上都能同时取到最大值和最小值，求正整数k的最小值．

Answer 1

分析 （1）由表格可得A+B=3，-A+B=-1，求得A和B的值，再根据周期性求得ω=1，根据五点法作图求得φ，可得函数的解析式．
（2）先求出函数y=f（kx）-f（kx+$\frac{π}{2}$）的解析式，再根据它的周期小于或等于$\frac{1}{10}$，求得正整数k的最小值．

解答 解：（1）对于函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），
由表格可得A+B=3，-A+B=-1，
求得A=2，B=1．
再根据$\frac{2π}{ω}$=$\frac{17π}{6}-\frac{5π}{6}$，求得ω=1．
再根据五点法作图可得1×$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1．
（2）函数y=f（kx）-f（kx+$\frac{π}{2}$）=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）-2sin[kx+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$]=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）-2cos（kx-$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{2}$sin（kx-$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$sin（kx-$\frac{7π}{12}$）（k＞0）
在任意区间长度为$\frac{1}{10}$的区间上都能同时取到最大值和最小值，
∴$\frac{2π}{k}$≤$\frac{1}{10}$，即 k≥20π，
故正整数k的最小值为63．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A和B，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的周期性的应用，属于基础题．