Question

2．已知函数f（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x²+c的图象过点（0，1），且在点（2，f（2））处的切线方程是6x-3y-7=0．
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）求函数f（x）的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积．

Answer 1

分析 （1）将（0，1）代入f（x），求出c的值，求出f（x）的导数，结合函数的切线求出a的值，从而求出函数的表达式，得到函数的单调性和极值即可；
（2）联立方程组，求出端点值，根据定积分的应用求出图形的面积即可．

解答 解：（1）因为函数f（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x²+c的图象过点（0，1），所以c=1，
所以f（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x²+1，f′（x）=3ax²-x，
又函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是6x-3y-7=0，
所以f′（2）=12a-2=2，解得：a=$\frac{1}{3}$，
所以f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+1，
f′（x）=x²-x，令f′（x）=x²-x=0，得x=0，或1，
所以函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
所以当x=0时，f（x）取得极大值f（0）=1，
当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=$\frac{5}{6}$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y={\frac{1}{3}x}^{3}-{\frac{1}{2}x}^{2}+1}\\{y=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以所求的面积为：
${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}$（1-f（x））dx=${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}$（-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²）dx=（-$\frac{1}{12}$x⁴+$\frac{1}{6}$x³）${|}_{0}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{9}{64}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及定积分的应用，是一道中档题．