Question

3．设数列{a_n}的前n项的和为S_n，点（n，S_n）在函数f（x）=2x²的图象上，数列{b_n}满足：b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n．其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求证：数列{c_n}的前n项的和${T_n}＞\frac{5}{9}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用${S_n}=2{n^2}$与${S_{n-1}}={（n-1）^2}$作差可知a_n=4n-2（n≥2）进而可知a_n=4n-2；通过代入计算可知b_n+1=$\frac{1}{4}$b_n，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知数列{c_n}的通项公式，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 （Ⅰ）解：由已知条件得${S_n}=2{n^2}$，①
当n=1时，a₁=2（1分）
当n≥2时，${S_{n-1}}={（n-1）^2}$，②（2分）
①-②得：${a_n}=2{n^2}-2{（n-1）^2}$，即a_n=4n-2（n≥2），（4分）
又a₁=2，∴a_n=4n-2；   （5分）
∵b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n，
∴${b_1}=2，\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{4}$，
∴${b_n}=2•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$； （6分）
（Ⅱ）证明：∵${c_n}=\frac{a_n}{b_n}=（2n-1）{4^{n-1}}$，（7分）
∴${T_n}=1+3•4+5•{4^2}+…+（2n-3）•{4^{n-2}}+（2n-1）•{4^{n-1}}$，
4T_n=4+3•4²+…+（2n-3）•4^n-1+（2n-1）•4ⁿ（9分）
两式相减得$-3{T_n}=1+2（4+{4^2}+…+{4^{n-1}}）-（2n-1）{4^n}=-\frac{5}{3}-（2n-\frac{5}{3}）•{4^n}＜-\frac{5}{3}$（12分）
∴${T_n}＞\frac{5}{9}$．     （13分）

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．