Question

16．已知双曲线 C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为$\frac{b}{2}$，则双曲线C渐近线方程为（　　）

• A． $y=\sqrt{3}x$
• B． y=2x
• C． $y=±\sqrt{2}x$
• D． $y=±\sqrt{3}x$

Answer 1

分析 设出一个虚轴端点为B（0，b）以及双曲线的一条渐近线，根据点到直线的距离公式，建立方程关系，进行求解即可．

解答 解：设双曲线的一个虚轴端点为B（0，b），
双曲线的一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0，
则点B到bx-ay=0的距离d=$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$=$\frac{b}{2}$，
即c=2a，则c²=4a²=a²+b²，
即3a²=b²，
即b=$\sqrt{3}$a，
则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=±$\sqrt{3}$x，
故选：D

点评 本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据点到直线的距离公式建立方程关系求出a，b的关系是解决本题的关键．