Question

14．已知函数f（x）=x-$\sqrt{1-2x}$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）用定义证明函数f（x）在其定义域上为单调增函数．

Answer 1

分析 （1）解不等式1-2x≥0即可得出函数f（x）的定义域（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（2）根据函数单调性的定义及不等式的性质容易判断x增大时，f（x）增大，从而得出f（x）在定义域上为增函数，从而有$f（x）≤f（\frac{1}{2}）$，这样即可求出函数f（x）的值域；
（3）根据增函数的定义，在函数f（x）定义域上任意设x₁＜x₂，通过作差，通分，提取公因式即可判断f（x₁）＜f（x₂），从而便证出函数f（x）在其定义域上为单调增函数．

解答 解：（1）解1-2x≥0得，x$≤\frac{1}{2}$；
∴函数f（x）的定义域为$（-∞，\frac{1}{2}]$；
（2）x$≤\frac{1}{2}$时，随x的增大$x-\sqrt{1-2x}$增大，即f（x）增大；
∴函数f（x）在定义域上单调递增；
∴$f（x）≤f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}$；
∴函数f（x）的值域为$（-∞，\frac{1}{2}]$；
（3）证明：设${x}_{1}＜{x}_{2}≤\frac{1}{2}$，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}-\sqrt{1-2{x}_{1}}-（{x}_{2}-\sqrt{1-2{x}_{2}}）$
=${x}_{1}-{x}_{2}+\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{\sqrt{1-2{x}_{1}}+\sqrt{1-2{x}_{2}}}$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{2}{\sqrt{1-2{x}_{1}}+\sqrt{1-2{x}_{2}}}）$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）在其定义域上为单调增函数．

点评 考查函数定义域、值域的概念及求法，根据函数的单调性定义证明函数单调性的方法，以及根据函数单调性求函数值域的方法．