Question

7．定义：$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$为n个正数p₁，p₂，p₃…p_n的“均倒数”．若已知正数数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$，则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{2014}{b}_{2015}}$=$\frac{2014}{4029}$．

Answer 1

分析 直接利用给出的定义得到$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，整理得到Sn=2n²+n．分n=1和n≥2求出数列{a_n}的通项，验证n=1时满足，再利“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：由已知定义，得到$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，
即Sn=2n²+n．
当n=1时，a₁=S₁=3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1．
当n=1时也成立，
∴a_n=4n-1；
∴b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$=2n-1．
∴$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{2014}{b}_{2015}}$=$\frac{2014}{2×2014+1}$=$\frac{2014}{4029}$
故答案为：$\frac{2014}{4029}$

点评 本考查了数列的递推关系式的运用，裂项的方法求解数列的和，考查的解题思想较多，属于中档题．