Question

（2014•泸州一模）已知定义在R上的函数f（x）满足

f(x+4)=f(x)，且f(x)= -x2+1(-1≤x≤1) -|x-2|+1(1≤x≤3)

，若方程f（x）-ax=0有5个实根，则正实数a的取值范围是（　　）

• A．

  1

  4

  ＜a＜

  1

  3

• B．

  1

  6

  ＜a＜

  1

  4

• C．16-6

  7

  ＜a＜

  1

  6

• D．

  1

  6

  ＜a＜8-2

  15

Answer 1

分析：由题意可得函数f（x）是以4为周期的周期函数，做出函数y=f（x）与函数y=ax的图象，由图象可得方程y=-（x-4）²+1=ax 在（3，5）上有2个实数根，解得 0＜a＜8-2

15

．再由方程f（x）=ax 在（5，6）内无解可得6a＞1．
由此求得正实数a的取值范围．

解答：解：由题意可得函数f（x）是以4为周期的周期函数，做出函数y=f（x）与函数y=ax的图象，
由图象可得方程y=-（x-4）²+1=ax 即 x²+（a-8）x+15=0在（3，5）上有2个实数根，
由

△= (a-8)2-60＞0 9+(a-8)3+15＞0 25+(a-8)5+15＞0

解得 0＜a＜8-2

15

．
再由方程f（x）=ax 在（5，6）内无解可得6a＞1，a＞

1

6

．
综上可得

1

6

＜a＜8-2

15

，
故选 D．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．