Question

已知：直线l的参数方程为：

x=2+t y= 3 t

（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ²cos2θ=1．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析：本题考查直线与圆的位置关系问题，直线被圆所截得的弦长可用代数法和几何法来加以求解

解答：解：（1）由曲线C：ρ²cos2θ=ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，
得ρ²cos²θ-ρ²sin²θ=1，化成普通方程x²-y²=1．①（5分）
（2）（方法一）把直线参数方程化为标准参数方程

x=2+ 1 2 t y= 3 2 t

(t为参数)，②
把②代入①得：(2+

1

2

t)2-(

3

2

t)2=1，整理，得t²-4t-6=0，
设其两根为t₁，t₂，则t₁+t₂=4，t₁•t₂=-6，．（8分）
从而弦长为|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

42-4(-6)

=

40

=2

10

．（10分）
（方法二）把直线l的参数方程化为普通方程为y=

3

(x-2)，代入x²-y²=1，得2x²-12x+13=0，．（6分）
设l与C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=6，x1•x2=

13

2

，．（8分）
∴|AB|=

1+3

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

62-26

=2

10

．（10分）

点评：方法一：利用了直线参数方程中参数的几何意义
方法二：利用了直线被圆所截得的弦长公式