Question

4．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且a₂=2，S₅=15．
（Ⅰ）求通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=2^a_n-a_n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）根据题目条件等差数列{a_n}中，a₂=2，S₅=15，可求得其首项与公差，从而可求得数列{a_n}的通项公式；
（II）求出b_n的通项公式，再根据等比数列和等差数列的求和公式即可求得T_n的值．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，则由已知得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_2}={a_1}+d=2}\\{{S_5}=5{a_1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=1}\end{array}}\right.$，
所以a_n=a₁+（n-1）d=n，）
（Ⅱ）因为${b_n}={2^{a_n}}-{a_n}$
所以${b_n}={2^n}-n$，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2¹-1）+（2²-2）+…+（2ⁿ-n）=（2¹+2²+…+2ⁿ）-（1+2+…+n），
${T_n}=\frac{{2-{2^n}•2}}{1-2}-\frac{{n（{1+n}）}}{2}={2^{n+1}}-2-\frac{{n（{1+n}）}}{2}$

点评 本题考查数列求和，重点考查等差数列的通项公式与求和公式，注重方程组法与公式法的考查，属于中档题．