Question

8．已知条件p：$\frac{4}{x-1}$≤-1，条件q：x²+x＜a²-a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先化简p，q，根据￢q的一个充分不必要条件是￢p等价于p是q的一个必要不充分条件，分类讨论即可求出a的取值范围．

解答 解：由$\frac{4}{x-1}$≤-1，得p：-3≤x＜1，----------------------------------------------（2分）
由x²+x＜a²-a得（x+a）[x-（a-1）]＜0，------------------------（3分）
当a=$\frac{1}{2}$时，q：∅；
当a＜$\frac{1}{2}$时，q：（a-1，-a）；
当a＞$\frac{1}{2}$时，q：（-a，a-1）．----------------------------------------------------------（6分）
由题意得，p是q的一个必要不充分条件，
当a=$\frac{1}{2}$时，满足条件；
当a＜$\frac{1}{2}$时，（a-1，-a）⊆[-3，1]得a∈[-1，$\frac{1}{2}$），
当a＞$\frac{1}{2}$时，（-a，a-1）⊆[-3，1]得a∈（$\frac{1}{2}$，2]，--------------------------------（10分）
综上，a∈[-1，2]---------------------------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道中档题．