Question

11．在平面直角坐标系中：已知曲线C：$\frac{y^2}{4}+{x^2}$=1（x≥0）．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）曲线C上任意点P（除短轴端点外）与短轴两个端点B₁，B₂连线分别为与x轴交于M，N两点，O为坐标原点，求证：|OM|•|ON|为定值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的参数方程，及同角的平方关系，即可得到所求参数方程；
（2）设P（cosθ，2sinθ），$θ∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，设B₁（0，2），B₂（0，-2），求出直线PB₁的方程，直线PB₂的方程，令y=0，求得M，N的坐标，计算即可得到|OM|•|ON|为定值1．

解答 解：（1）由曲线C：$\frac{y^2}{4}+{x^2}$=1（x≥0），可得
曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数，$θ∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$）；
（2）证明：设P（cosθ，2sinθ），$θ∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，
设B₁（0，2），B₂（0，-2），
可得直线PB₁的方程为y=$\frac{2sinθ-2}{cosθ}$x+2，
直线PB₂的方程为y=$\frac{2sinθ+2}{cosθ}$x+2，
令y=0，可得M（$\frac{cosθ}{1-sinθ}$，0），N（$\frac{-cosθ}{1+sinθ}$，0），
则|OM|•|ON|=|$\frac{cosθ}{1-sinθ}$•$\frac{-cosθ}{1+sinθ}$|=|$\frac{co{s}^{2}θ}{1-si{n}^{2}θ}$|=1．
即有|OM|•|ON|为定值1．

点评 本题考查参数方程和普通方程的互化，考查参数方程的运用，以及直线方程的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．