Question

在△ABC中，b，c分别为内角B，C的对边长，设向量

m

=(cos

A

2

，-sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，且有

m

•

n

=

2

2

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

5

，求三角形面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据

m

•

n

=

2

2

得cos2

A

2

-sin2

A

2

=

2

2

，即cosA=

2

2

，可得答案．
（2）根据余弦定理可得b2+c2-

2

bc=5，又由基本不等式可得到b²+c²≥2bc，代入整理即可得答案．

解答：解：（1）由

m

•

n

=

2

2

得：cos2

A

2

-sin2

A

2

=

2

2

；即cosA=

2

2

因为A∈（0，π），所以A=

π

4

（2）由a²=b²+c²-2bccosA得：b2+c2-

2

bc=5
又b²+c²≥2bc∴5≤(2-

2

)bc
∴bc≥

5(2+ 2 )

2

∴(S△ABC)man=

1

2

5(2+ 2 )

2

•

2

2

=

5( 2 +1)

4

点评：本题主要考查向量的点乘运算的坐标表示和余弦定理的应用．向量和三角函数的综合题是每年必考题，要给予重视．