题目内容
某单位为解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A（m2）的宿舍楼．已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2．试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最小，并求出其最小费用．（总费用为建筑费用和征地费用之和）分析：如果设楼高为x层，总费用为y元，那么征地面积为
m2，征地费用为
元，楼层建筑费用为{445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+[445+30×（x-2）]}×
；则总费用y=建筑费用+征地费用，整理化简，可得总费用y的最小值及对应的x值．
| 2.5×A |
| x |
| 2388×2.5A |
| x |
| A |
| x |
解答：解：设楼高为x层，总费用为y元，
则征地面积为
(m2)，征地费用为
元，
楼层建筑费用为{445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+[445+30×（x-2）]}×
={445x+30[1+2+3+…+（x-2）]}×
={445x+[15x2-45x+30]}×
={15x+
+400}A元，
从而总费用为：y=
+15xA+
+400A（x＞0）；
整理化简，得y=(15x+
+400)A≥(2
+400)A=1000A(元)，
当且仅当15x=
，解得x=20（层）时，总费用y最小．
故当这幢宿舍的楼高层数为20层时，最小总费用为1000A元．
则征地面积为
| 2.5A |
| x |
| 5970A |
| x |
楼层建筑费用为{445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+[445+30×（x-2）]}×
| A |
| x |
={445x+30[1+2+3+…+（x-2）]}×
| A |
| x |
| A |
| x |
| 30 |
| x |
从而总费用为：y=
| 5970A |
| x |
| 30A |
| x |
整理化简，得y=(15x+
| 6000 |
| x |
15x•
|
当且仅当15x=
| 6000 |
| x |
故当这幢宿舍的楼高层数为20层时，最小总费用为1000A元．
点评：本题考查了等差数列前n项和公式，基本不等式a+b≥2
（其中a＞0，b＞0）的应用；本题中求前n项和时要注意项数是多少，以免出错．
| ab |
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