Question

2．已知四面体A-ABD满足下列条件：
（1）有一个面是边长为1的等边三角形；
（2）有两个面是等腰直角三角形．
那么四面体A-BCD的体积的取值集合是（　　）

• A． {$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{12}$}
• B． {$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$}
• C． {$\frac{\sqrt{2}}{12}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{2}}{24}$}
• D． {$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{2}}{12}$，$\frac{\sqrt{2}}{24}$}

Answer 1

分析 根据等边三角形的不同位置判断棱锥的底面和高，得出棱锥的体积．

解答 解：（1）若三棱锥的底面△BCD为等边三角形，高为1，如图1所示：则$V=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$

（2）若△ACD是边长为1的正三角形，其余三个面都是等腰直角三角形，
其直角边为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{24}$．
（3）若△ACD，△BCD是边长为1的正三角形，其余两个面都是等腰直角三角形，
其斜边$AB=\sqrt{2}$，$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{12}$．
故选：C．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题．