Question

1．已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂、a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，由于a₃+2是a₂、a₄的等差中项，可得2（a₃+2）=a₂+a₄．代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）由（1）知，b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵a₃+2是a₂、a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄．
代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q（1+{q}^{2}）=20}\\{{a}_{1}{q}^{2}=8}\end{array}\right.$，
解之得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
又∵{a_n}单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（1）知，b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ．
∴S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．