Question

17．数列{a_n}中，定义：d_n=a_n+2+a_n-2a_n+1（n≥1），a₁=1．
（Ⅰ）若d_n=a_n，a₂=2，求a_n；
（Ⅱ） 若a₂=-2，d_n≥1，求证此数列满足a_n≥-5（n∈N^*）；
（Ⅲ）若|d_n|=1，a₂=1且数列{a_n}的周期为4，即a_n+4=a_n（n≥1），写出所有符合条件的{d_n}．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简可得a_n+2-2a_n+1=0（n≥1）；从而检验可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，从而求得；
（Ⅱ）由d_n≥1，构造c_n=a_n+1-a_n，从而可得c_n+1-c_n≥1，从而可得a_n+1-a_n≥n-4，从而可得${a_n}≥\frac{{{n^2}-9n+10}}{2}$≥-5．
（Ⅲ）由|d_n|=1，a₁=1，a₂=1讨论求a₃，a₄，a₅，从而归纳可得．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n=d_n=a_n+2+a_n-2a_n+1（n≥1），
∴a_n+2-2a_n+1=0（n≥1）；
又∵a₁=1，a₂=2，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
故数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^{n-1}}$；
（Ⅱ）证明：∵d_n≥1，
∴a_n+2+a_n-2a_n+1≥1，
令c_n=a_n+1-a_n，则
c_n+1-c_n≥1，
叠加得，c_n≥n-4；
即a_n+1-a_n≥n-4，
叠加可得，${a_n}≥\frac{{{n^2}-9n+10}}{2}$≥-5．
（Ⅲ）由于|d_n|=1，a₁=1，a₂=1，
若d₁=1，则可得a₃=2，
若d₁=-1可得a₃=0；
同理，若d₂=1可得a₄=4或a₄=2，
若d₂=-1可得a₄=0或a₄=-2；
具体如下表所示，
1，1，$\left\{\begin{array}{l}{2\left\{\begin{array}{l}{4\left\{\begin{array}{l}{7}\\{5}\end{array}\right.}\\{2\left\{\begin{array}{l}{3}\\{1}\end{array}\right.}\end{array}\right.}\\{0\left\{\begin{array}{l}{0\left\{\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}\right.}\\{-2\left\{\begin{array}{l}{-3}\\{-5}\end{array}\right.}\end{array}\right.}\end{array}\right.$；
所以{a_n}可以为1，1，2，2；1，1，2，2；1，1，2，2；…
或1，1，0，0；1，1，0，0；1，1，0，0；…
此时相应的{d_n}为1，-1，-1，1，1，-1，-1，1，…
或-1，1，1，-1，-1，1，1，-1，…．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论思想方法应用及构造法与归纳法的应用．