Question

已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：
①f（

2014π

3

）=-

3

4

；
②若|f（x₁）=|f（x₂）|，则x₁=x₂+kπ（k∈Z）；
③f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上单调递增；
④函数f（x）的周期为π；
⑤f（x）的图象关于点（-

π

2

，0）成中心对称．
其中正确说法的序号是

 

．

Answer 1

考点：二倍角的正弦

专题：探究型,三角函数的图像与性质

分析：①f（

2014π

3

）=|cos

2014π

3

|•sin

2014π

3

=

3

2

•(-

1

2

)=-

3

4

；
②若|f（x₁）=|f（x₂）|，即|

1

2

sin2x₁|=|

1

2

sin2x₂|，列举反例x₁=0，x₂=

π

2

时也成立；
③在区间[-

π

4

，

π

4

]上，f（x）=|cosx|•sinx=

1

2

sin2x，单调递增；
④由f（x+π）≠f（x），可得函数f（x）的周期不是π；
⑤由函数f（x）=|cosx|•sinx，可得函数是奇函数．

解答： 解：①f（

2014π

3

）=|cos

2014π

3

|•sin

2014π

3

=

3

2

•(-

1

2

)=-

3

4

，正确；
②若|f（x₁）=|f（x₂）|，即|

1

2

sin2x₁|=|

1

2

sin2x₂|，则x₁=0，x₂=

π

2

时也成立，故②不正确；
③在区间[-

π

4

，

π

4

]上，f（x）=|cosx|•sinx=

1

2

sin2x，单调递增，正确；
④∵f（x+π）≠f（x），∴函数f（x）的周期为π，不正确；
⑤∵函数f（x）=|cosx|•sinx，∴函数是奇函数，∴f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，点（-

π

2

，0）不是函数的对称中心，故不正确．
故答案为：①③．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式，以及三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．