Question

6．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（1）若$\frac{EC}{CB}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{ED}{DA}$=1，求$\frac{DC}{AB}$的值；
（2）若EF²=FA•FB，证明：EF∥CD．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有 $\frac{ED}{EB}$=$\frac{EC}{EA}$=$\frac{DC}{AB}$，利用比例的性质可得 $\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$=（$\frac{DC}{AB}$）²，得到 $\frac{DC}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（2）根据题意中的比例中项，可得 $\frac{EF}{FA}$=$\frac{FB}{FE}$，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．

解答 解：（1）∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EBA，可得 $\frac{ED}{EB}$=$\frac{EC}{EA}$=$\frac{DC}{AB}$，
∴$\frac{ED}{EB}$•$\frac{EC}{EA}$=（$\frac{DC}{AB}$）²，即 $\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$=（$\frac{DC}{AB}$）²
∴$\frac{DC}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
证明：（2）∵EF²=FA•FB，
∴$\frac{EF}{FA}$=$\frac{FB}{FE}$，
又∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，
又∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，
∴EF∥CD．

点评 本题在圆内接四边形的条件下，一方面证明两条直线平行，另一方面求线段的比值．着重考查了圆中的比例线段、圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题．