题目内容
14．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{18}$=1上的一点，从原点O向圆R（x-x0）2+（y-y0）2=12作两条切线，分别交椭圆于P，Q两点．（1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，分别记为k1，k2，求k1•k2的值．
分析 （1）利用切线的性质可求出|OR|=2$\sqrt{6}$，又R在椭圆上．列方程组解出R点坐标；
（2）根据R到OP，OQ的距离为2$\sqrt{3}$得出k1，k2为某个一元二次方程的解，根据距离公式得出这个一元二次方程，结合R为椭圆上的点得出k1•k2的值．
解答 解：（1）圆R的半径r=2$\sqrt{3}$，
∵OP⊥OQ，∴|OR|=$\sqrt{2}$r=2$\sqrt{6}$，∴x02+y02=24，
又点R在椭圆C上，∴$\frac{{{y_0}^2}}{36}+\frac{{{x_0}^2}}{18}=1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=24}\\{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{36}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{18}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2\sqrt{3}}\\{{y}_{0}=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴圆R的方程为 （x-2$\sqrt{3}$）2+（y-2$\sqrt{3}$）2=12．
（2）直线OP方程为：k1x-y=0，直线OQ的方程为：k2x-y=0．
∵OP，OQ为圆R的切线，
∴$\frac{|{k}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=2$\sqrt{3}$，$\frac{|{k}_{2}{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}}=2\sqrt{3}$．
∴k1，k2为方程${（12-{x_0}）^2}{k^2}+2{x_0}{y_0}k+12-{y_0}^2=0$的两根，
∴${k_1}•{k_2}=\frac{y_0^2-12}{x_0^2-12}$，
∵点R在椭圆C上，∴$\frac{{{y_0}^2}}{36}+\frac{{{x_0}^2}}{18}=1$，即$y_0^2=36-2x_0^2$，
∴${k_1}•{k_2}=\frac{24-2x_0^2}{x_0^2-12}=-2$．
点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，圆的切线的性质，距离公式的应用，属于中档题．
| A． | $\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$ | B． | $\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$ | C． | $\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$ | D． | $\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$ |
| A． | （1，2） | B． | [-1，2） | C． | [-1，+∞） | D． | （1，+∞） |
| A． | p∧q | B． | ￢p∧q | C． | p∧￢q | D． | ￢p∧￢q |
| A． | $\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1 | B． | $\frac{x^2}{4}$-y2=1 | C． | $\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{9}$=1 | D． | $\frac{x^2}{3}$-$\frac{y^2}{3}$=1 |
| A． | -$\frac{65}{56}$ | B． | $\frac{65}{56}$ | C． | $\frac{7}{8}$ | D． | $\frac{9}{8}$ |