Question

5．如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在$\widehat{AB}$上，且∠COA=30°，若$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$$+μ\overrightarrow{OB}$，则λ+μ$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，过点C作CE∥OA，CD∥OB，分别交OB，OA于点E，D．∠BOD=120°，可得CDO=60°．又∠COD=30°，可得∠OCD=90°．OC=1，可得CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．再利用向量共线定理、向量平行四边形法则．

解答 解：如图所示，过点C作CE∥OA，CD∥OB，分别交OB，OA于点E，D．
∵∠BOD=120°，∴CDO=60°．
又∠COD=30°，∴∠OCD=90°．
∵OC=1，∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OB}$．
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\overrightarrow{OA}$，
又$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$$+μ\overrightarrow{OB}$，
则λ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴λ+μ=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量平行四边形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．