题目内容

3．已知$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，…，依此规律，若$\sqrt{8+\frac{b}{a}}$=8$\sqrt{\frac{b}{a}}$，则a、b的值分别是8，63．

分析 仔细观察已知等式的数字可发现：$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$，根据此规律解题即可

解答 解：由$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$，
$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，
…，
依此规律$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$
故当n=8时，b=8，a=28-1=63，
故答案为：8，63

点评 本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．

练习册系列答案
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13．函数f（x）=lnx，g（x）=x2．
（1）求函数h（x）=f（x）-x+1的最大值；
（2）对于任意x1，x2∈（0，+∞），且x2＜x1，是否存在实数m，使mg（x2）-mg（x1）＞x1f（x1）-x2f（x2）恒成立，若存在求出m的范围，若不存在，说明理由；
（3）若正项数列{an}满足${a_1}=\frac{1}{2}，\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{（1+{a_n}）{a_n}}}{{2g（{a_n}）}}$，且数列{an}的前n项和为Sn，试判断$2{e^{S_n}}$与2n+1的大小，并加以证明．
14．设f（3x-4）=22x-1+1，则f（-1）=3．
11．设$\overrightarrow{a}$表示向东走10km，$\overrightarrow{b}$表示向北走10$\sqrt{3}$km，则$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$表示（　　）
A．向南偏西30°走20kmB．向北偏西30°走20km
C．向南偏东30°走20kmD．向北偏东30°走20km
18．已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ为120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，求：
（1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；  
（2）（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）； 
（3）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|．
8．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和．
（Ⅲ）求{anbn}的前n项和．
15．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$）．则曲线C的直角坐标方程为（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）2+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）2=1．
12．函数f（x）=1-cos（$\frac{π}{2}$-x）-cos2x的最大值为3，最小值为-$\frac{1}{8}$．
13．阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：
（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；
（2）结论：椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1上任一点P（x0，y0）处的切线l的方程为$\frac{{{x_0}x}}{a^2}$+$\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1．记椭圆C的方程为C：$\frac{x^2}{4}$+y2=1．
①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B，求证：直线lAB恒过一定点；
②设点P（x0，y0）为椭圆C上位于第一象限内的动点，F1，F2为椭圆C的左右焦点，点I为△PF1F2的内心，直线PI与x轴相交于点N，求点N横坐标的取值范围．

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