题目内容

求证：ABCD是菱形的充要条件是平行四边形对角线
AC
⊥
BD
.
分析：要证明ABCD是菱形的充要条件是对角线
AC
⊥
BD
.，我们可先证明ABCD是菱形时，对角线
AC
⊥
BD
.，再证明对角线若
AC
⊥
BD
.，则ABCD是菱形．
解答：证明：若ABCD是菱形
则
|AB
|=
|BC
|=
|CD
|=
|DA
|
则
AC
•
BD
.
=(
AB
+
AD
)•(
AB
-
AD
)
=
AB
2-
AD
2
=|
AB
|2-|
AD
|2=0
即
AC
⊥
BD
.
反之，若
AC
⊥
BD
.
则(
AB
+
BC
)⊥(
BC
+
CD
)
即(
AB
+
BC
)•(
BC
+
CD
)=0
即(
AB
+
AD
)•(
AB
-
AD
)=0
即
|AB
|=
|AD
|
即平行四边形的两邻边相等
则四边形为菱形
即ABCD是菱形的充要条件是平行四边形对角线
AC
⊥
BD
.
点评：要证明平行四边形为菱形，只要证明平行四边形的两邻边相等即可．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角C-BF-D的余弦值．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6
3
，BD=6，PD=3
6
，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）求EF与平面PAB所成角的正弦值．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：OM∥平面PAB；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（3）当四棱锥P-ABCD的体积等于
3
时，求PB的长．
求证：ABCD是菱形的充要条件是平行四边形对角线

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网