题目内容

若
AC
=
a
+
b
，
DB
=
a
-
b
．
（1）当
a
、
b
满足什么条件时，
a
+
b
与
a
-
b
垂直？
（2）当
a
、
b
满足什么条件时，|
a
+
b
|=|
a
-
b
|？
（3）当
a
、
b
满足什么条件时，
a
+
b
平分
a
与
b
所夹的角？
（4）
a
+
b
与
a
-
b
可能是相等向量吗？
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,平面向量及应用
分析：（1）运用向量垂直的条件，化简即可得到；（2）对等式两边平方，化简即可得到；
（3）运用向量加法的平行四边形法则，结合条件，即可得到；
（4）若
a
+
b
与
a
-
b
是相等向量，则
a
+
b
=
a
-
b
，即
b
=
0
，检验即可判断．
解答： 解：（1）由
a
+
b
与
a
-
b
垂直，可得（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=0，
即有
a
2-
b
2=0，即|
a
|=|
b
|，
则当
a
、
b
满足|
a
|=|
b
|时，
a
+
b
与
a
-
b
垂直；
（2）由|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，两边平方可得，
a
2+
b
2+2
a
•
b
=
a
2+
b
2-2
a
•
b
，
则
a
•
b
=0，即
a
⊥
b
，
故当
a
、
b
满足
a
⊥
b
时，|
a
+
b
|=|
a
-
b
|；
（3）由
a
+
b
平分
a
与
b
所夹的角，运用平行四边形法则，
可得，由
a
，
b
为邻边作平行四边形，即为菱形，则有|
a
|=|
b
|，
故当
a
、
b
满足|
a
|=|
b
|时，
a
+
b
平分
a
与
b
所夹的角；
（4）若
a
+
b
与
a
-
b
是相等向量，则
a
+
b
=
a
-
b
，即
b
=
0
，
这与
AC
=
a
+
b
，
DB
=
a
-
b
，即
AC
=
DB
，可能．
则
a
+
b
与
a
-
b
可能是相等向量．
点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，以及向量加法的平行四边形法则，考查运算能力，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
如图，四边形OABC的对角线OB与AC相交于点P，已知
OB
=2m
OA
+m
OC
，且
AP
=λ
AC
(m，λ∈R)，则实数λ的值为．（　　）
A、
1
3
B、
2
3
C、
1
2
D、
3
4
在△ABC中，已知AB=6，B=60°，cos（B+C）=-
2
7
7
，若D为△ABC外接圆劣弧
A
C
上的动点．
（1）求sinC；
（2）求△ACD的面积的最大值．
如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线具有什么关系？为什么？
已知
lim
n→∞
(2n+
an2-2n+1
bn+2
)=-1，若直线l的方向向量为
d
=(a，b)，则直线l的倾斜角为
 
（用反三角函数表示）．
已知函数f(x)=
x4+x2，x＞0
cosx，x≤0
，则下列结论正确的是（　　）
A、f（x）是偶函数
B、f（x）是（-∞，+∞）上的增函数
C、f（x）是周期函数
D、f（x）的值域为[-1，+∞）
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜
π
2
）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）如何由函数y=2sin2x的图象通过适当的变换得到函数f（x）的图象，写出变换过程．
半径为12cm，弧长为8πcm的弧所对的圆心角为α，写出与角α终边相同的角的集合A，并判断A是否为B={θ|θ=
kπ
2
+
π
6
，k∈Z}的真子集．
下列图象中最左边是高青到张店71路公共汽车收支差额y与乘客量x的图象，则图①图②图③的实线所表达的实际意义是（　　）
A、①是票价不变降低成本，②是成本不变提高票价，③是降低成本提高票价
B、①是成本不变提高票价，②是票价不变降低成本，③是降低成本提高票价
C、①是降低成本提高票价，②是票价不变降低成本，③是票价不变降低成本
D、①是成本不变提高票价，②是降低成本提高票价，③是降低成本提高票价

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