Question

20．如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A₁DE，若M为线段A₁C的中点，则在△ADE翻转过程中，对于下列说法：
①|CA|≥|CA₁|
②经过点A、E、A₁、D的球的体积为2π
③一定存在某个位置，使DE⊥A₁C
④|BM|是定值
其中正确的说法是①④．

Answer 1

分析 在①中，在△ADE翻转过程中，始终有|CA|≥|CA₁|；在②中，A，D，E是定点，A₁是动点，经过点A、E、A₁、D的球的体积不是定值；在③中，AC与DE不垂直，从而DE与A₁C不垂直；在④中，取DC中点N，连MN，NB，根据余弦定理得到|BM|是定值．

解答 解：在①中，在△ADE翻转过程中，始终有|CA|≥|CA₁|，故①正确．
在②中，∵AD=AE=A₁D=A₁E=1，A，D，E是定点，A₁是动点，
∴经过点A、E、A₁、D的球的体积不是定值，故②错误；
在③中，∵A₁C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，
∴存在某个位置，使DE⊥A₁C不正确，故③不正确．
在④中，取DC中点N，连MN，NB，则MN∥A₁D，NB∥DE，
∴面MNB∥面A₁DE，MB?面MNB，∴MB∥面A₁DE，故④正确；
∠A₁DE=∠MNB，MN=$\frac{1}{2}{A}_{1}D$是定值，NB=DE是定值，
根据余弦定理得到：MB²=MN²+NB²-2MN•NB•cos∠MNB，
∴|BM|是定值，故④正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．