Question

13．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4
（1）若平面上有两点A（1，0），B（-1，0），点P是圆C上的动点，求使|AP|²+|BP|²取得最小值时点P的坐标；
（2）若Q是x轴上的动点，QM，QN分别切圆C于M，N两点，①若$|{MN}|=2\sqrt{3}$，求直线QC的方程；②求证：直线MN恒过定点．

Answer 1

分析 （1）根据圆的标准方程，设出点P的坐标，然后利用两点间距离公式，得到|AP|²+|BP|²的表达式，即可求得P点的坐标．
（2）①确定|QN|=|QM|，△QMN为等边三角形，即可求直线QC的方程；
②x²+y²-（a+3）x-4y+3a=0与圆C：x²+y²-6x-8y+21=0联立得：-a（x-3）+3x+4y-21=0，即可证明结论．

解答 解：（1）设P（x，y），由两点间的距离公式知：|AP|²+|BP|²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2．
又P为圆上的点，所以${|{OP}|_{min}}=|{OC}|-r=\sqrt{{3^2}+{4^2}}-2=3$，∴（|AP|²+|BP|²）_min=20
此时直线$OC：y=\frac{4}{3}x$，由题意得：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}x\\{（{x-3}）^2}+{（{y-4}）^2}=4\end{array}\right.$，∴P的坐标为$（{\frac{9}{5}，\frac{12}{5}}）$；
（2）①设Q（x，0），因为圆C的半径r=2，而$|{MN}|=2\sqrt{3}$，
则$∠MCN=\frac{2π}{3}$，$∠MQN=\frac{π}{3}$
而|QN|=|QM|，△QMN为等边三角形．
∴|QC|²=|QN|²+|CN|²=16，∴|QC|=4，所求直线QC的方程：x=3
②$∠CNQ=∠CMQ=\frac{π}{2}$，则M，N在以QC为直径的圆上
设Q（a，0），则以QC为直径的圆的方程：${（{x-\frac{a-3}{2}}）^2}+{（{y-2}）^2}=\frac{{{{（{a-2}）}^2}+16}}{4}$
即x²+y²-（a+3）x-4y+3a=0与圆C：x²+y²-6x-8y+21=0联立得：-a（x-3）+3x+4y-21=0，
故无论a取何值时，直线MN恒过定点（3，3）．

点评 本题考查了圆的方程的综合应用，和平面内两点间距离公式，考查圆与圆的位置关系，属于中档题．