Question

如图，一张平行四边形的硬纸片中，，.沿它的对角线把△折起，使点到达平面外点的位置.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）如果△为等腰三角形，求二面角的大小.

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：因为，，所以，.

　　因为折叠过程中，，所以，又，

　　故平面.

　　又平面，所以平面平面.

（Ⅱ）解法一：如图，延长到，使，连结，.

　　因为，，，，所以为正方形，.

　　由于，都与平面垂直，所以，可知.

　　因此只有时，△为等腰三角形.

　　在△中，，又，所以△为等边三角形，.

　　由（Ⅰ）可知，，所以为二面角的平面角，即二面角的大小为.

解法二：以为坐标原点，射线，分别为轴正半轴和轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，.

　　由（Ⅰ）可设点的坐标为，其中，则有.    ①

　　因为△为等腰三角形，所以或.

　　若，则有.

　　则此得，，不合题意.

　　若，则有.    ②

　　联立①和②得，. 故点的坐标为.

　　由于，，所以与夹角的大小等于二面角的大小.

　　又，，

　　所以  即二面角的大小为.