Question

15．已知f（x）=sin$\frac{πx+π}{3}$-$\sqrt{3}$cos$\frac{πx+π}{3}$，f（1）+f（2）+…+f（2014）=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由辅助角公式求得f（x）=2sin$\frac{π}{3}$x，分别求得前7项，可得f（x）=2sin$\frac{π}{3}$x是以6为周期的，周期数列，且每6项和为0，2014=335×6+4，则f（1）+f（2）+…+f（2014）=f（1）+f（2）+…+f（4）=$\sqrt{3}$．

解答 解：f（x）=sin$\frac{πx+π}{3}$-$\sqrt{3}$cos$\frac{πx+π}{3}$=2sin（$\frac{πx+π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{3}$x，
∴f（1）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
f（2）=2sin（2×$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
f（3）=2sin（3×$\frac{π}{3}$）=0，
f（4）=2sin（4×$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，
f（5）=2sin（5×$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，
f（6）=2sin（6×$\frac{π}{3}$）=0，
f（7）=2sin（7×$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
…
∴f（x）=2sin$\frac{π}{3}$x是以6为周期的，周期数列，且每6项和为0，
2014=335×6+4，
f（1）+f（2）+…+f（2014）=f（1）+f（2）+…+f（4）=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查数列的周期性，考查辅助角公式，周期函数的前n项和，考查计算能力，属于中档题．