Question

13．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线两条渐近线的交点分别为B，C，若$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，则此双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出直线l和两个渐近线的交点，进而根据$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，求得a和b的关系，根据c²-a²=b²，求得a和c的关系，则离心率可得．

解答 解：直线l：y=x+a与渐近线l₁：bx-ay=0交于B（$\frac{{a}^{2}}{b-a}$，$\frac{ab}{b-a}$），
l与渐近线l₂：bx+ay=0交于C（-$\frac{{a}^{2}}{b+a}$，-$\frac{ab}{b+a}$），
∵A（a，0），$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
∴（$\frac{{a}^{2}}{b-a}$-a，$\frac{ab}{b-a}$）=$\frac{1}{2}$（-$\frac{{a}^{2}}{b+a}$-$\frac{{a}^{2}}{b-a}$，-$\frac{ab}{b+a}$-$\frac{ab}{b-a}$），
∴$\frac{{a}^{2}}{b-a}$-a=$\frac{1}{2}$（-$\frac{{a}^{2}}{b+a}$-$\frac{{a}^{2}}{b-a}$）
∴b=2a，
∴c²-a²=4a²，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=5，∴e=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．