Question

某商品近一个月内（30天）预计日销量y=f（t）（件）与时间t（天）的关系如图1所示，单价y=g（t）（万元/件）与时间t（天）的函数关系如图2所示，（t为整数）

（1）试写出f（t）与g（t）的解析式；
（2）求此商品日销售额的最大值？

Answer 1

分析：（1）f（t）是一次函数，g（t）是分段函数，根据图象中点的坐标，可得函数解析式；
（2）f（t）•g（t）即为日销售额，建立销售额的函数模型，分段研究函数的最大值，从而确定商品日销售额的最大值．

解答：解：（1）f（t）是一次函数，过两个点（30，5），（0，35）
∴f（t）=35-t （0≤t≤30，t∈Z），…（2分），
g（t）是分段函数，当0≤t≤20时，是一次函数，过两个点（20，8），（0，3），此时g（t）=

1

4

t+3
当20＜t≤30时，是一次函数，过两个点（20，8），（30，2），此时g（t）=20-

3

5

t
∴g（t）=

1 4 t+3，0≤t≤20，t∈Z 20- 3 5 t，20＜t≤30，t∈Z

（6分）
（2）设日销售额L（t）是天数t的函数，则有
L（t）=f（t）•g（t）=

(35-t)( 1 4 t+3)，0≤t≤20，t∈Z (35-t)(20- 3 5 t)，20＜t≤30，t∈Z

                 …（9分）
当0≤t≤20时，L（t）=

1

4

[- (t-

23

2

)2+

2209

4

]，
当t=11或12时，L（t）最大值为138万元．
当20＜t≤30时，L（t）=

3t2-205t+3500

5

在（20，30]是减函数，
故L（t）＜L（20）=120万元，
∵138＞120
∴0≤t≤30时，当t=11或12时，L（t）最大值为138万元．                 …（13分）
答：第11天与第12天的日销售额最大，最大值为138万元．               …（14分）

点评：本题以函数图象为载体，考查函数模型的构建，考查分段函数的最值，解题的关键是构建分段函数模型．