Question

设函数方程f（x）=x有唯一的解，已知f（x_n）=x_n+1（n∈N﹡）且
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）若，求s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n；
（3）在（2）的冬件下，若不等式对一切n∈N﹡均成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据ax²+（2a-1）x=0（a≠0）有唯一解，得，利用f（x_n）=x_n+1，可得，取倒数，即可证得数列{}是等差数列； 
（2）先确定，从而可得，故，由此可求S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．
（3）原不等式即为对一切n∈N^*，不等式恒成立，
设，则h（n）＞0，作商，可得h（n）随n递增，从而可得k的最大值．
解答：（1）证明：由题意得：ax²+（2a-1）x=0（a≠0）有唯一解，得
∴f（x）=
∵f（x_n）=x_n+1（n∈N﹡）
∴
∴，即
∴数列{}是等差数列； （4分）
（2）解：由，即，解得x₁=1
故，即
∴，
∴
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（1-+-+…+）=（8分）
（3）解：（理）∵
∴原不等式即为对一切n∈N^*，不等式恒成立，
设，则h（n）＞0
即h（n）随n递增，故，
所以k的最大值为（13分）
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查等差数列的证明，考查裂项法求数列的和，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，综合性强