Question

4．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD上有10个不同的点P₁，P₂，P₃…P₁₀，则$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{A{P_1}$+$\overrightarrow{A{P_2}}$+$\overrightarrow{A{P_3}}$+…+$\overrightarrow{A{P_{10}}}$）=180．

Answer 1

分析 可用特殊位置法处理此题，假定这10个点是DG的等分点，且M为DG中点，则$\overrightarrow{A{P_1}$+$\overrightarrow{A{P_2}}$+$\overrightarrow{A{P_3}}$+…+$\overrightarrow{A{P_{10}}}$=10$\overrightarrow{AM}$，建立坐标系，向量坐标法处理数量积．
或是根据分析图形所反应出来的几何性质解题．

解答 解法一：特殊位置法．
令这10个点是DG的等分点，且M为DG中点，
则$\overrightarrow{A{P_1}$+$\overrightarrow{A{P_2}}$+$\overrightarrow{A{P_3}}$+…+$\overrightarrow{A{P_{10}}}$=10$\overrightarrow{AM}$，
以A为原点，AD方向为x轴建立坐标系，
故F（3，$\sqrt{3}$），M（$\frac{11}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）
$\overrightarrow{AF}=（3，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AM}=（\frac{11}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$
∴原式=$10\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AM}$=180
故答案为：180．
解法二：（几何法）
由图知，△AFC中，∠ACF=60°，AC=2FC=$2\sqrt{3}$，
知，△AFC为以∠AFC=90°的直角三角形．
∴AF⊥FC，∠FAC=30°．
又∵GD∥FC，∴AF⊥GD．
又 点P₁，P₂，…P₁₀在线段GD上，
∴AF⊥DP_i（i=1，2，3，…，10）
∴原式=$\overrightarrow{AF}•（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{P}_{1}}+$…+$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{P}_{10}}）$
=$\overrightarrow{AF}•（10\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{P}_{1}}+\overrightarrow{D{P}_{2}}+$…$+\overrightarrow{D{P}_{10}}）$
=$10\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AD}+$$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{D{P}_{1}}$+…+$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{D{P}_{10}}$
=$10\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AD}$
=$10×2\sqrt{3}×6×cos30°$
=180．
故答案为：180．

点评 考查向量在图形中的几何应用，向量的加法法则，数量积的运算律，数量积的求值．分析到 AF⊥GD是解决问题的关键．