Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（x+2）．
（1）画出函数f（x）的函数图象；
（2）求出函数解析式；
（3）直线y=a与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数图象的作法,函数解析式的求解及常用方法,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质即可画出函数f（x）的函数图象；
（2）根据函数奇偶性的定义即可求出函数解析式；
（3）结合图象利用数形结合即可求求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，且当x≤0时，f（x）=x（x+2）．
∴函数f（x）的函数图象关于原点对称，则对应的图象为：；
（2）若x＞0，则-x＜0，
∵当x≤0时，f（x）=x（x+2）．
∴f（-x）=-x（-x+2）=-f（x），
则当x＞0时，f（x）=x（-x+2）．
即f（x）=

x(x+2)， x≤0 x(-x+2)， x＞0

；
（3）直线y=a与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，
则由图象可知，
-1＜a＜1，
故a的取值范围是（-1，1）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和函数图象的应用，利用函数奇偶性的对称性求出函数的解析式是解决本题的关键．