Question

13．已知函数y=log_a（x-1）+3（a＞0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a_n}的第二项与第三项，若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，则T₁₀等于$\frac{10}{11}$．

Answer 1

分析 求出函数的定点，得出a₂，a₃，解出a_n，利用列项法求和．

解答 解：∵函数y=log_a（x-1）+3（a＞0，a≠1）过定点（2，3），
∴a₂=2，a₃=3，
∴a_n=n，
∴b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T₁₀=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．
故答案为$\frac{10}{11}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，列项法求和，属于中档题．