Question

6．已知数列{a_n}满足：2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），且a₁＞0，a₁、3、a₃依次成等比数列，则数列{a_n}前四项和的最小值为6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^•），可得{a_n}是等差数列．根据a₁、3、a₃依次成等比数列，求出a₁，d的关系，表示出数列{a_n}前四项和，利用基本不等式，可求最小值．

解答 解：∵2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^•），
∴{a_n}是等差数列．
∵a₁、3、a₃依次成等比数列，
∴9=a₁（a₁+2d），∴d=$\frac{9}{2{a}_{1}}$-$\frac{1}{2}$a₁，
数列{a_n}前四项和S=4a₁+6d=a₁+$\frac{27}{{a}_{1}}$，
∵a₁＞0，∴S≥$2\sqrt{27}$=6$\sqrt{3}$，
∴数列{a_n}前四项和的最小值为6$\sqrt{3}$．
故答案为：6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查等差数列、等比数列的综合，考查等差数列的求和公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．