Question

19．各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₃、a₅、a₆成等差数列，则$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{a_4}+{a_6}}}$=1或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由等比数列的通项公式和等差数列性质，得q=1或q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，再由$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{a_4}+{a_6}}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{4}}{{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{5}}$=$\frac{1}{q}$，能求出结果．

解答 解：∵各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₃、a₅、a₆成等差数列，
∴2a₅=a₃+a₆，即2${a}_{1}{q}^{4}$=${a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{5}$，
整理，得q³-2q²+1=0，即（q-1）（q²-q-1）=0，
由q＞0，解得q=1或q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{a_4}+{a_6}}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{4}}{{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{5}}$=$\frac{1}{q}$，
∴当q=1时，$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{a_4}+{a_6}}}$=1；当q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时，$\frac{2}{1+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为：1或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查等比数列中两项和的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列和等差数列的性质的合理运用．