Question

9．在直角坐标系xOy，直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数）．在以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C：ρ=4sinθ．
（1）当m=-1，α=30°时，判断直线l与曲线C的位置关系；
（2）当m=1时，若直线与曲l线C相交于A，B两点，设P（1，0），且||PA|-|PB||=1，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析 （1）由题意利用ρ²=4ρsinθ，ρ²=x²+y²，将曲线C化为普通方程，将直线l的参数t消去为普通方程，圆心M到直线l的距离d与半径比较可得直线l与曲线C的位置关系．
（2）设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，利用参数的几何意义建立关系，可得直线l的倾斜角．

解答 解：（1）由ρ=4sinθ，得ρ²=4ρsinθ，又ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得曲线C的普通方程为（x-2）²+y²=4，
所以曲线C是以M（2，0）为圆心，2为半径的圆，
由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
得直线l的直线坐标方程为$x-\sqrt{3}y+1=0$．
由圆心M到直线l的距离d=$\frac{丨2-0+1丨}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{3}{2}$＜2，
故直线l与曲线C相交．
（2）直线l为经过点P（1，0）倾斜角为α的直线，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，代入（x-2）²+y²=4，整理得，t²-2tcosα-3=0，△=（2cosα）²+12＞0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=2cosα，t₁t₂=-3＜0，
所以t₁，t₂异号．则||PA|-|PB||=|t₁+t₂|=|2cosα|=1，
所以cosα=±$\frac{1}{2}$，又α∈[0，π），
所以直线l的倾斜角α=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查圆的极坐标，直线的参数方程，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．