题目内容

1．在直角坐标系xoy中，已知点P（0，$\sqrt{3}$），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$．
（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

分析 （Ⅰ）点P在直线l上，理由如下：直线l：ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，展开可得$\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ$=$\sqrt{3}$，可得直线l的直角坐标方程即可验证．
（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的普通方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}$=1．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得5t2+12t-4=0，可得|PA|+|PB|=|t1-t2|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）点P在直线l上，理由如下：
直线l：ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，即$2cos（θ-\frac{π}{6}）$=$\sqrt{3}$，亦即$\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ$=$\sqrt{3}$，
∴直线l的直角坐标方程为：$\sqrt{3}$x+y=$\sqrt{3}$，易知点P在直线l上．
（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的普通方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得5t2+12t-4=0，
设两根为t1，t2，
∴t1+t2=-$\frac{12}{5}$，t1•t2=-$\frac{4}{5}$，
∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{14}}{5}$，
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{|PA|+|PB|}{|PA|•|PB|}$=$\frac{\frac{4\sqrt{14}}{5}}{|-\frac{4}{5}|}$=$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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